Принцип парності.

Подільність цілих чисел

(курс за вибором у 8 класі)

 

Тема. Принцип парності

Мета:

ü    ознайомити з принципом парності як прийомом розв’язування задач на подільність цілих чисел, показати його ефективність при розв’язування олімпіадних задач;

ü    розширювати знання про теорію подільності цілих чисел, про методи і прийоми, що дозволяють розв’язувати задачі з даної теми;

ü    розвивати математичний світогляд учнів, уміння знаходити і розкривати причинно-наслідкові зв’язки, використовувати методи аналізу і синтезу, індукції і дедукції;

ü    виховувати любов до науки, зацікавленість, цілеспрямованість у досягненні результату.

Хід заняття

I.                              Організаційна частина (1 хв.)

(Слайд 1)

II.                           Актуалізація знань учнів по курсу «Подільність цілих чисел»

(Слайд 2)

·        Який курс вивчаємо?

·        Яка мета цього курсу?

·        Який матеріал, що вивчався, повторювався?

·        Що нового вивчили з теорії подільності цілих чисел?

·        Яку загальну тему почали вивчати?

·        У чому полягає метод доведення від супротивного?

·        Розв’язати задачу, використовуючи метод доведення від супротивного

 

III.           Хвилинка історії

(Слайд 3)

Які завдання ви одержали на попередньому занятті ?

* Історичні факти про розвиток теорії подільності цілих чисел, зокрема про їх парність і непарність

 

Виступи учнів:

1) Ділення чисел на кількісні (кардинальні) і порядкові (ординальні) існувало в найстародавніші часи, як про це свідчать відповідні мовні джерела. Ці форми існують у шумерській і єгипетській, грецькій і латинській мовах. Терміни «кардинальні» і «ординальні» числа зустрічаються вперше у римській граматиці Прісціана (441 – 518 рр.).

2) Ділення чисел на парне і непарне приписується піфагорійцям. Платон заявляє: арифметика є учення про парні та непарні числа. Розрізнення цих двох видів чисел є вже у єгиптян. У папірусі Райнда, який відноситься до періоду 1900 – 1700 рр. до н. е., даються уявлення у вигляді сум доль усіх дробів з чисельником два та із знаменниками, що представляють всі непарні числа від 5 до 99. Дроби з парними знаменниками не включені в таблицю: очевидно, під час складання таблиці вже розрізнялися парні й непарні числа.

3) Піфагорійська школа (VI і V вв. до н.е. в південній Італії), за свідченням Аристотеля, включила в таблицю своїх категорій і зіставлення парного і непарного, з якої вже до епохи Платона (429 – 348 рр.) виникла поширена в широких колах народу гра в «чот і нечот».

4) У діалозі «Закони» Платон дає визначення парного числа як числа, що розбивається на два однакових цілочисельних доданків. Це визначення приймає і Евклід («Почала», кн. VII). У інших своїх творах Платон указує, що парні і непарні числа зустрічаються в рівній кількості (діалоги «Тет-а-тет», «Горгіас», «Республіка»). Евклід визначає непарне число як таке, що відрізняється від парного на одиницю, або як таке, що не розбивається на два однакових цілочисельних доданки. У латинській мові вже за часів Ціцерона (I в. до н. е.) існують терміни «парні» й «непарні» числа.

5) Із класифікації чисел на парні й непарні починається розвиток теоретичного інтересу людини до чисел; цей момент є початком історії теоретичної арифметики, початком науки про числа.

Вчення про властивості натуральних чисел у деяких стародавніх авторів (Піфагор, Платон, Нікомах та інші) розумілося містикою. Проте вже й у цих авторів є початки наукових відомостей про натуральне число.

6) Гаус неодноразово говорив про «чарівливу красу теорії чисел, додаючи й арифметиці ту чарівну красу, яка зробила її улюбленою наукою найбільших геометрів».

Французький математик Ламе, будучи ряд років професором Петербурзького інституту інженерів шляхів сполучення (початок XIX ст.), виражав упевненість у тому, що в майбутньому «теорія чисел зробиться такою ж необхідною для фізики, як і аналіз нескінченно малих».

7) Проблеми теорії цілих чисел є надзвичайно важкими, не дивлячись на їх простоту, що здається. Геніальний французський математик Ферма говорив у своїх працях про «заплутаніші таємниці простих чисел». Властивості цілих чисел вивчаються, окрім елементарної арифметики, вищою арифметикою або теорією чисел. Багато питань про числа розглядаються в обох цих дисциплінах.

IV.           Пояснення нового матеріалу

– Проблемна задача:

(Слайд 4)

Після закінчення олімпіади Петя і Вася порвали свої листки із завданнями олімпіади, причому Петя кожний свій шматок розриває на 3 частини, а Вася на 5 частин. Чи може в якийсь момент хоча б один з них одержати рівно 2000 шматочків?

А) Оголошення теми і мети заняття

(Слайд 5)

Знати: основні означення і властивості, пов’язані з визначенням парності чи непарності сум чисел, їх добутків

Уміти : застосовувати властивості парності чисел для розв’язування конкретних задач

Б) Пояснення нового матеріалу

(Слайд 6)

Означення. 1) Будь-яке число, яке можна подати як суму двох однакових натуральних чисел, називають парним.

2) Парні числа позначають формулою m = 2n.

Парних чисел безліч.

Парні числа закінчуються на цифри: 0, 2, 4, 6, 8.

Приклади. Такі числа є парними: 2, 4, 6, 8, 56, 78, 40.

Означення. 3) Будь-яке число, яке не можна подати як суму двох однакових натуральних чисел, називають непарним.

4) Непарні числа позначають формулою m = 2n - 1.

Приклади. Такі числа є непарними: 21, 43, 65, 87, 56, 781, 409.

Непарних чисел безліч.

Непарні числа закінчуються на цифри: 1, 3, 5, 7, 9.

Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною.

Узагальнення цього факту виглядає так:

парність суми кількох чисел залежить лише від парності числа непарних доданків:

якщо кількість непарних доданків є (не)парна, то і сума також є (не)парною.

(Слайд 7)

Це можна зрозуміти з таких властивостей парності:

1)  Сума будь-якої кількості парних чисел завжди парна

2∙n + 2∙k + … + 2∙f + 2∙q = 2∙(n + k + … + f  + q) = 2∙m

2) Різниця будь-якої кількості парних чисел завжди парна

2∙n – 2∙k – … – 2∙f – 2∙q = 2∙(n – k – … – f  – q) = 2∙m

Властивості непарних чисел

(Слайд 8)

3) Сума парної кількості непарних чисел завжди парна

 (2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s = 2∙(m-s)

Сума непарної кількості непарних чисел завжди непарна

(2∙n -1)+ (2∙k-1)+ … + (2∙f-1) + (2∙q-1) = 2∙(n + k + … + f  + q)- 2s -1 = 2∙(m-s) – 1

Висновок

(Слайд 9)

Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел у початковому наборі. Зрозуміло, що сума будь-якої кількості парних чисел є  завжди парним числом.

Звертаємо увагу ще на одну цікаву властивість.

 

Сума квадратів парної кількості непарних чисел є парною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p

(парна кількість непарних доданків)

Сума квадратів непарної кількості непарних чисел є непарною.

(2∙n -1)² + (2∙k-1)² + … + (2∙f-1)² + (2∙q-1)² = 2∙p – 1

(непарна кількість непарних доданків)

В) Розвя’язок проблемної задачі

(Слайд 10)

Був у учня 1 шматок (непарна кількість), після розриву у Петі стає з кожного листка 1+2 ( парність не змінюється), у Васі 1+4 ( парність не змінюється). В результаті заданої операції не можна змінити парність початкового числа. В кожного був 1 листок ( непарне) а треба, щоб стало 2000 (парне).Тому жоден з них не одержить 2000 шматків.

V.          Закріплення вивченого матеріалу

(Слайд 11)

Задача 1 . Нехай m i n - цілі числа. Доведіть, що mn(m+n) – парне число.

Відповідь: - Нехай m і n – парні, тоді вираз mn(m+n) буде парним.

- Нехай m і n – обидва непарні, тоді (m+n) – парне число, отже вираз mn(m+n) буде парним.

- Нехай m і n – числа різної парності, тоді добуток mn – парний, і вираз mn(m+n) буде парним.

(Слайд 12)

Задача 2 . Петро купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував усі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Василь вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990?

 Відповідь: ні, не міг. Вказівка. На кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел непарна.

(Слайд 13)

Задача 3. Добуток 22 цілих чисел дорівнює 1. Доведіть, що їх сума не дорівнює нулю.

Вказівка. Серед цих чисел – парне число «мінус одиниць», а для того, щоб сума дорівнювала нулю, їх має бути рівно 11.

(Слайд 14)

Задача 4. Чи можна скласти магічний квадрат із перших 36 простих чисел?

Відповідь: ні, не можна. Серед цих чисел одне (це 2) – парне, а інші непарні. Тому в рядку, де стоїть двійка, сума чисел непарна, а в інших – парна.

(Слайд 14)

Задача5 . В ряд записано числа від 1 до 10. Чи можна розставити між ними знаки «+» та «–« так, щоб значення отриманого виразу дорівнювало нулю?

Відповідь: ні, не можна. І справді, сума чисел від 1 до 10 дорівнює 55 (непарне), і, змінюючи в ній знаки, ми не змінюємо парність суми.

Зауваження. Врахуйте, що від’ємні числа також бувають парними та непарнимb.

Тепер пропоную для вашого розгляду більш складні задачі, розв'язання яких, крім парності, використовує, як правило, і деякі додаткові міркування.

(Слайд 16)

Задача 6 На площині розміщено 11 шестерень, з’єднаних одна за одною ланцюгово. Чи можуть усі шестерні обертатися одночасно?

Відповідь 1,3,5 і т. д обертаються за годинниковою стрілкою, а отже і 11.Це не можливо.

(Слайд 17)

Задача 7 Чи можна покрити шахову дошку доміношками розміром 1x2 так, щоб вільними залишились тільки клітинки а1 і h8?

Відповідь: не можна. Кожна доміношка покриває одне чорне і одне біле поле, а при викиданні полів а1 і h8 чорних полів залишається на 2 менше, ніж білих.

(Слайд 18)

Задача 8 На столі стоїть 7 стаканів – всі дном до верху. За один крок можна перевернути будь-які 4 стакани. Чи можна за декілька кроків досягти того, щоб усі стакани стояли правильно?

Відповідь: Для того, щоб стакан став правильно, його треба перевернути непарну кількість раз, число стаканів теж непарне, тобто нам треба зробити непарну кількість переворотів, щоб всі стакани стали правильно, але за кожен крок ми перевертаємо парну кількість стаканів. Отже поставлене завдання виконати неможливо.

(Слайд 19)

Задача 9 Чи можна в кружечках розставити цифри від 0 до 9 так, щоб сума трьох чисел по будь- якому з шести відрізків була однаковою?

Відповідь Припустимо, що це можливо. Нехай сума чисел, що знаходяться на кінцях відрізків, дорівнює А, сума чисел, розміщених в серединах відрізків, дорівнює В, а сума чисел, розміщених на кожному відрізку, дорівнює С. Очевидно, що А+В=0+1+2+…..+9=45. Кожна кінцева точка належить 3 відрізкам, а всі середини різні. Тому додавши суму чисел на всіх 6 відрізках маємо 3А+В = С. Звідси 2А = 6С- (А+В) = 6С-45. Зліва число – парне, а справа – непарне. Прийшли до суперечності.

Задача 10 Діти кидаються червоними, білими і синіми м’ячами. Кожен з дітей кинув і піймав у сумі 3 м’ячі, до того ж різних кольорів. Крім цього, деякі 3 м’ячі були кинуті. Та їх ніхто не піймав. Доведіть, що ці 3 м’ячі – різних кольорів.

Відповідь Нехай кількість дітей К, а кількість кинутих, але не спійманих червоних м’ячів М. Тоді кількість червоних пійманих м’ячів буде ( К- М)/2, бо кожен з цих м’ячів одна дитина кидала, а інша ловила). Очевидно, що числа К і М мусять бути однієї парності.

Аналогічні міркування проводимо для м’ячів інших кольорів і робимо висновок, що число кинутих і не спійманих м’ячів кожного кольору має однакову парність ( що співпадає з парністю числа К). Отже, сума трьох цілих невід’ємних чисел з однаковою парністю дорівнює 3. Виходячи з цього, всі ці числа непарні, і це можливо в одному випадку – коли число кинутих, але не спійманих м’ячів кожного кольору дорівнює 1.

VI.           Підсумок заняття

-         Що робили на уроці?

-         Що нового дізналися?

-         Чого нового навчилися?

(Слайд 20)

Презентація:

СКАЧАТЬ: