Історія показникової функції (11-А, алгебра і початки аналізу 16.11.2015р)

Історія показникової функції починається з далеких часів.

Нам відома легенда про арабського царя, у якого винахідник шахівниці зажадав за свій винахід зерна. Причому за першу клітку — 1 зерно (2⁰), за другу — два просив винахідник (2¹), за третю — чотири (2²), за четверту — вісім (2³), за п'яту — шістнадцять (2⁴), за шосту — тридцять два (2⁵) і т. д. Чимало часу цар витратив на підрахунок. Коли ж підрахували — розплакалися: вийшло вісімнадцять квінтильйонів чотириста сорок шість квадрильйонів сімсот чотири трильйони сімдесят три більйони сімсот дев'ять мільйонів п'ятсот п'ятдесят одна тисяча шістсот п'ятнадцять (число двадцятизначне!). Цього зерна вистачило, щоб засіяти всю сушу та їсти його довелося б мільйони років!

Термін «показник» (нім. exponent, лат. ехропеге — «виставляти на показ»; exponens, exponentis — «що виставляється на показ», «той, що показується») для степеня увів у 1553 р. німецький математик (спочатку монах, а потім — професор) Михайль Штифель (1487—1567). Він увів дробові й нульові показники. Позначення а^х для натуральних показників увів Рене Декарт (1637), а вільно поводитися з такими самими дробовими й від'ємними показниками почав із 1676 р. Ісаак Ньютон. Степені з довільними дійсними показниками, без будь-якого загального означення, розглядали Лейбніц та Иоганн Бернуллі. 1679 р. Лейбніц увів поняття експоненціальної (тобто показникової) функції для залежності у=а^х та експоненціальної кривої для графіка цієї функції. Коротке найменування «експонента» відображено в одному з позначень: а=ехра х. Через ехр(х) позначається конкретна експонента — з показником а=е=2,71828.., яка введена у велику кількість мов програмування.

Отже, показникова функція не випадково народилася, органічно увійшла у життя і знайшла широке застосування. Показникові функції трапляються в найрізноманітніших галузях науки — фізиці, хімії, біології, економіці, інформатиці, медицині, лісництві, картографії, будівництві тощо.

Задачі прикладного змісту де використовується показникова функція:

а) при проходженні світла через мутне середовище сила світла на проміжках даної довжини зменшується в одному і тому самому відношенні;

б) тиск повітря при цій різниці висот зменшується в одному і тому самому відношенні;

в) швидкість тіла, що рухається в середовищі, опір якого пропорційний швидкості, за даний проміжок часу зменшується в одному і тому самому відношенні;

г) при радіоактивному розпаді маса речовини змінюється за законом: за рівні проміжки часу вона змінюється в одному і тому ж відношенні;

д) якщо колонія бактерій має достатній простір і достатню кількість поживних речовин, то її масса за рівні проміжки часу збільшується в одному і тому ж відношенні. В таких випадках говорять про процеси органічного росту.

Графік показникової функції називають експонентою, а процеси, які можна описати функцією виду у=а^х, експоненціальними процесами.

Домашнє завдання: конспект опрацювати, стр.172, №9, №10, №11 виконати (за бажанням розв'язати задачі прикладного змісту у загальному вигляді)